世界上已知的最大素数

世界上已知的最大素数

前不久,来自美国佛罗里达州的互联网专家、数学爱好者帕特里克·拉罗什利用“互联网梅森素数大搜索”(GIMPS)项目,成功发现了第51个梅森素数;它是目前世界上已知的最大素数——2^82589933-1,有24862048位数。如果用普通字号(指word文档默认的字体字号)将这一巨数打印下来,其长度将超过100公里!

素数又叫质数,是在大于1的自然数中只能被1和其自身整除的数,如2、3、5、7、11等等。数论中,每个自然数都可以唯一地分解成有限个素数的乘积,素数因此构成了自然数体系的基石。2300多年前,古希腊数学家欧几里得在《几何原本》一书中证明了素数有无穷多个,并提出一些素数可写成“2^P-1”(即2的P次方减1,其中指数P也是素数)的形式,如2^2-1(=3)、2^3-1(=7)、2^5-1(=31)、2^7-1(=127)、2^13-1(=8191)等。

由于2^P-1型的素数具有独特数学性质,千百年来许多著名数学家以及无数数学爱好者对它情有独钟。17 世纪法国数学家马林·梅森是他们中最杰出的探究者。由于他学识渊博、才华横溢、为人热情以及最早系统而深入地研究2^P-1型素数,为了纪念他,数学界将这种特殊形式的素数命名为“梅森素数”。迄今为止,人类仅发现51个梅森素数;这种素数珍奇而迷人,因而被人们誉为“数学宝库中的钻石”。

世界上已知的最大素数插图

梅森素数貌似简单,但当指数P值较大时,其素性检验的难度就会很大;此外,它的探究需要高深的理论和纯熟的技巧,以及艰巨的计算。例如:1772年,瑞士数学家、物理学家莱昂哈德·欧拉在双目失明的情况下,靠心算证明了2^31-1(即2的31次方减1)是个素数;该数有10位(2147483647),堪称当时世界上已知的最大素数。在“手算笔录年代”,人们历尽艰辛,一共才找到12个梅森素数。

电子计算机的诞生,尤其是互联网的出现,大大加快了探究梅森素数的步伐。1996年初,美国数学家、程序设计师乔治·沃特曼编制了一个梅森素数计算程序,并把它放在网页上供人们免费使用。这一计算程序就是举世闻名的GIMPS项目,也是全球首个基于互联网的网格计算项目。网格计算就是通过利用大量异构计算机的未用资源,为解决大规模的计算问题提供一个新的模型。

现在只要人们去GIMPS的主页下载一个名为“Prime95”免费程序,就可以立即参加GIMPS项目来搜寻梅森素数了。目前,世界上有200多个国家和地区近25万在线网民参与GIMPS项目,并动用了超过247万核的中央处理器(CPU)联网来寻找新的梅森素数。可见,梅森素数的探究非常火爆;这在数学史上前所未有,在科学史上也极为罕见。

特别值得一提的是,在梅森素数的素性判断方面,法国数学家爱德华·鲁卡斯和美国数学家德里克·雷默都做出了重要贡献;以他们命名的“鲁卡斯-雷默方法”是目前已知的检测梅森素数素性的最佳方法。在梅森素数分布研究方面,中国数学家、语言学家周海中在1992年给出了梅森素数分布的精确表达式;这一研究成果被国际上命名为“周氏猜测”。

从古至今,几乎所有的“最大素数”都是梅森素数。由于梅森素数的探究在当代需要多种学科和技术的支持,所以许多科学家认为:梅森素数的探究成果,在一定程度上反映了一个国家的科技水平。英国数学家马科斯·索托伊甚至认为:梅森素数的探究可以挑战人类科技与智慧极限,其成果是一个国家科技创新能力的重要标志之一。因此,梅森素数的探究还会继续下去,直到永远。

文/曾浩(作者单位:瑞士苏黎世大学理学院)

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